可靠性試驗分析的降階積分法

由于非正態相關隨機變量可以轉化為正態獨立隨機變量，本章仍主要討論相互獨立的正態隨機變量情況的結構的可靠性試驗靈敏度分析。

假設所研究問題包含的維基本變量相互獨立且均服從正態分布，，和分別為的均值與標準差。以表示極限狀態函數，則結構的失效域。以表示基本變量的聯合概率密度函數，則結構的失效概率如式所示。

首先利用式對變量進行標準正態化

經過上式變換后，即為所對應的標準正態化向量。

一般的，式中聯合概率密度函數比較復雜，積分上下限也不明確，特別是在具有多隨機變量時，情況變得更復雜，使積分求解十分困難。利用獨立標準正態變量空間的幾個重要性質，將隨機變量空間的坐標軸通過下面的公式轉換成極坐標形式后，原來復雜的積分形式變得比較簡潔而富有規律。

經過坐標轉換之后，為了求得具有個隨機變量的維正交標準正態空間中超球體域的積分精確值，文獻[1]采用歸納的方法，先討論低維變量空間的情況，再得出高維及維變量空間的積分形式。

3.1.1 單模式的降階積分法

3.1.1.1 二維隨機變量時可靠性試驗分析的降階積分法

對于相互獨立的二維隨機變量，標準正態化后得到，，通過式進行極坐標轉換聯合概率密度函數變為

把離散為，即，這樣就把整個坐標空間分成個以原點為圓心、為射線角的扇形，它們與失效邊界的交點處的特征半徑記為，如圖5.1所示。記為獨立的二維標準正態變量空間中以原點為圓心、半徑為的圓形區域內側的聯合概率密度函數的積分（以下類同），則有[1]

圖5.1 單模式的降階積分法示意圖

相應的，記為在上述區域外側的概率積分（以下類同），有

假設結構的失效域為超球外側的區域，則結構的失效概率如式所示。

其中表示第個微元體對應的結構的失效概率，以下類同。

若結構的失效域為超球內側的區域，則結構的失效概率如式所示。

為描述方便起見，下面均假定結構的失效域為超球體外側的區域，對于失效域為超球體內側區域的情況可以由式類似地推得。

3.1.1.2 三維隨機變量時可靠性試驗分析的降階積分法

對于相互獨立的三維變量，標準正態化后得到，，通過式進行極坐標轉換后聯合概率密度函數變為

與二維的情況類似，把、離散為、，即、，這樣就把三維空間劃分為個以原點為頂點的微棱錐，它們與失效面相交處的特征半徑記為記。則有

其中為標準正態分布變量的累積分布函數。

結構的失效域為超球外側的區域時，結構的失效概率如式所示。

其中為以為半徑的球的表面積，為以為高度的微棱錐在球面上部分的面積，可分別由式和式求得。

其中，、分別為角坐標的起始與終了坐標值。

3.1.1.3 其他維數隨機變量時可靠性試驗分析的降階積分法

(1) 當變量維數為偶數時：

(2) 當變量維數為奇數時：

對應于可靠性試驗問題，超球體域外側為失效域時，結構的失效概率為：

其中為以為半徑的超球的體積，為以為高度的微元體的體積。