母體標準差置信區間估計的Bootstrap方法

假定是一組獨立同分布樣本的未知總體參數。Bootstrap方法的基本思想是利用經驗分布函數代替總體分布函數，從經驗分布函數中隨機抽取容量為的樣本來估計統計量的抽樣分布，這就等同于對原始樣本作有放回再抽樣。有放回再抽樣獲取的新樣本稱為Bootstrap樣本，由其計算得到的統計量稱為Bootstrap統計量[7-9]。重復再抽樣次，可以獲得個Bootstrap統計量。個Bootstrap估計量為我們提供了的抽樣分布估計，目前有很多正式的結論可以證明Bootstrap方法精確的逼近了估計量的真實抽樣分布，這也就使得Bootstrap方法在對未知參數進行置信區間分析時具有顯著的效率和精確性。

百分位法利用經驗分位數估計置信區間，將上述Bootstrap方法應用到參數的區間估計上[10,11]。即把個Bootstrap統計量由小到大排序，包含的區間既是的一個置信水平為的置信區間，其中為的經驗分位數。

百分位法在概率收斂性上存在一些缺點，可以通過糾偏過程減少偏差。即如果出現大部分Bootstrap估計量小于，也就意味著Bootstrap模擬“低估”了，為了糾正這一偏差，置信邊界必須向“大值”移動。這個過程由糾偏量完成[8,10,11]。

其中是標準正態分布函數的反函數，是示性函數，其定義如下

考慮糾偏后，可以構造糾偏百分位法置信區間，其中、，為標準正態分布函數，為標準正態分布分位數。

本文采用上述的Bootstrap方法模擬母體標準差的抽樣分布，然后結合糾偏百分位法對進行置信區間分析。得到母體標準差的置信區間后，利用式即可求得疲勞分散系數具有一定可靠度和置信度要求的置信區間。