相關正態變量情況下可靠性試驗靈敏度分析的Monte Carlo法及自適應超球重要抽樣法

第二章和第三章討論了重要抽樣法和改進重要抽樣法進行可靠性試驗靈敏度分析的效率和收斂性問題，重要抽樣法由于將抽樣的密度中心移到了對可靠性試驗靈敏度貢獻較大的區域而提高了抽樣效率，加快了可靠性試驗靈敏度估計的收斂速度[1]，但目前還缺乏重要抽樣密度中心的穩健確定方法。基于超球的重要抽樣法[2]通過在安全域內引入一個超球，減少了超球內極限狀態函數的計算次數，從而提高了方法的分析效率。

原則上基于超球的重要抽樣法并不需要有關設計點的信息，只要保證引入的超球處于安全域內，則該方法即可收斂于真實解。但是既要使失效域處于超球以外的區域來保證可靠性試驗靈敏度分析的準確性，又要使引入的超球盡可能的大來保證可靠性試驗靈敏度分析的高效性，就要通過優化算法決定超球的較優半徑，此較優半徑為標準正態空間中極限狀態上離原點最近的點(即最可能失效點)到原點的距離，也就是說基于超球的重要抽樣法在實際運用中還是需要最可能失效點的信息的。一次二階矩(FORM)和二次二階矩(SORM)可以高效的求此最小距離，但是這兩種方法對于復雜的極限狀態，例如高度非線性、多設計點或者多模式系統，都是不穩健的[3,4]。

本章在文獻[5]自適應超球重要抽樣思想的基礎上，提出了一種高效的自適應方法，該方法在抽樣的過程中搜集極限狀態和失效域的信息，并利用這些信息指導抽樣域越來越接近最可能失效點附近的重要區域，通過逐步迭代搜索的方式來確定較優超球半徑，從而最大化地提高了基于超球的重要抽樣法的效率。

另外，需指出的是，超球重要抽樣是在獨立的標準正態空間中展開的，而在工程實際中，各基本變量往往是相關的，這種相關性會對結構的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度產生顯著的影響[6]。為此，論文針對結構包含相關正態變量的情況提出了采用自適應超球重要抽樣法進行可靠性試驗靈敏度分析的兩種思路，兩種思路均需首先將正態相關變量轉化成正態獨立變量[7,8]，并對其進行標準化，然后在獨立的標準正態空間中利用自適應策略引入超球來篩選樣本。第一種思路是將篩選后的樣本進行反變換得到相關樣本，對獨立正態樣本的篩選也就是對相關正態樣本的篩選，最后即可利用篩選得到的相關樣本直接進行可靠性試驗靈敏度分析，將這種方法稱之為直接法；第二種思路是在獨立的標準正態空間中篩選完樣本后，利用篩選后的獨立樣本求得獨立正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度，最后依據相關變量分布參數與等效變換后獨立變量分布參數之間的關系，利用復合函數求導公式來求得相關正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度，將這種方法稱之為轉換法。

本章分別采用上述兩種思路并結合高效的自適應策略對含相關正態變量的結構進行可靠性試驗靈敏度分析，大量廣泛應用的單模式和多模式算例的可靠性試驗靈敏度分析結果表明：對于分析含正態相關變量的結構的可靠性試驗靈敏度問題，所提的兩種基于自適應超球重要抽樣的可靠性試驗靈敏度分析方法均是高效、穩健、準確的。

2.1 相關正態變量的獨立變換[7,8]

由于非正態變量可以等價轉化為正態變量，因此為簡單起見，本文只討論正態基本隨機變量的情況。n維相關正態基本隨機變量的密度函數如下所示

其中

為的協方差矩陣，是其逆矩陣，為該矩陣的行列式值。為的均值向量，為的標準差，為和的相關系數。

依據線性代數的基本原理，對于式定義的n維相關正態概率密度函數，必然存在一個正交矩陣，使對于n維隨機變量有

其中，為協方差矩陣的特征根。

由上式容易看出隨機變量服從正態分布且相互獨立，并有

其中的均值向量、方差向量。

由式引入的線性變換就將相關正態隨機變量等價地轉換為獨立正態隨機變量。

2.2 相關正態變量情況下可靠性試驗靈敏度分析的兩種Monte Carlo數字模擬法

2.2.1 相關正態變量情況下可靠性試驗靈敏度定義

假設含n維相關正態基本隨機變量結構的極限狀態函數為，則結構的失效域。依據失效概率的定義，相關正態變量情況下的失效概率可表示為失效域的指示函數與的聯合概率密度函數的乘積在維實數空間中的積分，如式所示。

其中具有兩個取值，當時，，否則。

與獨立變量情況類似，變量相關情況下的可靠性試驗靈敏度定義為失效概率對基本變量分布參數的偏導數，以(對于相關正態變量，表示、和)記第i個基本變量的分布參數，可得對的可靠性試驗靈敏度如式所示。

以下將建立兩種基于Monte Carlo數字模擬的相關正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度分析方法，其一是直接法，其二是轉換法。

2.2.2 相關正態變量情況下基于Monte Carlo數字模擬的可靠性試驗靈敏度分析的直接法

2.2.2.1 相關正態變量情況下基于Monte Carlo直接法的可靠性試驗靈敏度估計值

如第二章所述，引入相關變量的密度函數為抽樣概率密度函數，則式的可靠性試驗靈敏度可轉化為式所示的數學期望的形式。

其中表示以為密度函數的數學期望算子。

以為抽樣密度函數抽取個相關的正態樣本點，并以樣本均值來估計式所示的數學期望形式的可靠性試驗靈敏度，可得相關正態變量情況下可靠性試驗靈敏度估計值如下式所示。

其中。

對于式所示的相關正態概率密度函數，當、和時，可分別求得、和如式~所示。

其中表示協方差矩陣的逆矩陣的第行第列的元素。

將式~分別代入到式中，可得失效概率對變量均值、標準差及相關系數的可靠性試驗靈敏度估計值、及分別如式~所示。

其中為第k個樣本點的第l個分量。

2.2.2.2 相關正態變量情況下基于Monte Carlo直接法的可靠性試驗靈敏度估計值的方差分析

采用式所示的樣本均值來估計數學期望是近似的，隨著樣本容量的增大，式的估計值收斂于式的真值。為了對式估計值的收斂性有所了解，有必要對估計值作方差分析。對式所示的估計值求數學期望，可得式，在忽略樣本間的相關性時，可近似求得式估計值的方差如式所示。

顯然，是可靠性試驗靈敏度的無偏估計。

在數值模擬的過程中，考慮用樣本平均值和方差分別代替總體的數學期望和方差，可近似得到靈敏度估計值的數學期望和方差分別如下所示。

變異系數為估計值的標準差與估計值均值的比值，反映了估計值的相對分散性，相關正態變量情況下基于Monte Carlo直接法的可靠性試驗靈敏度估計值的變異系數如下。

2.2.3 相關正態變量情況下基于Monte Carlo數字模擬的可靠性試驗靈敏度分析的轉換法

2.2.3.1 相關正態變量情況下基于Monte Carlo轉換法的可靠性試驗靈敏度估計值

對于相關正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度分析問題，Monte Carlo轉換法的基本思想是：首先按照第4.1節所示的方法將相關的正態變量等價地轉換成獨立的正態變量，然后在變換后的獨立正態空間中求得獨立變量情況下的可靠性試驗靈敏度估計值，最后再利用空間分布參數與空間分布參數的轉換關系，由復合函數求導法則將求得的估計值轉換到相關空間，即可得到相關正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度估計值。

（1）獨立空間中基于Monte Carlo模擬的可靠性試驗靈敏度的估計值

按照第4.1節的方法將相關正態變量獨立化后，可以得到獨立正態變量的概率密度函數如下

其中

為獨立正態變量的協方差矩陣，其中的相關系數，因此中只有主對角線元素是非零的，而非主對角線元素均為零。

由相關正態空間轉換而來的獨立正態空間中，與相關系數，作為空間的分布參數，失效概率對相關系數的可靠性試驗靈敏度與失效概率對空間的均值、標準差的靈敏度一樣，會對最終空間的可靠性試驗靈敏度產生影響，因此獨立的空間中也必須估計可靠性試驗靈敏度，將寫成式的形式，就是為了方便估計。

相關正態變量轉換成獨立正態變量的同時，空間的極限狀態函數也被轉換為空間的極限狀態函數(為表達簡單仍記為g)。在轉換后的獨立空間中，結構的失效域為。依據可靠性試驗靈敏度的定義，失效概率對第個獨立變量的分布參數的靈敏度可表示為

引入n維獨立的正態抽樣密度函數，由2.1節獨立正態變量情況下可靠性試驗靈敏度分析的直接Monte Carlo法分析過程可知式可由下式進行估算。

其中。

根據式和可以知道，當和時顯然有下列兩式成立。

而當時，與式相似的有式成立。

將式~分別代入式中，可得失效概率對變量均值、標準差及相關系數的可靠性試驗靈敏度估計值、及分別如式~所示。

（2）獨立空間中可靠性試驗靈敏度估計值的方差分析

由于是來自同一母體的獨立樣本，因此可求得式估計值的數學期望和方差如下列兩式所示。

類似于式和，可求得式估計值的數學期望和方差的估計值如下

（3）獨立正態變量空間可靠性試驗靈敏度向相關正態變量空間可靠性試驗靈敏度的轉換

求得獨立正態變量空間中的可靠性試驗靈敏度估計值后，就可根據變量與的變換關系，采用復合函數求導公式，將獨立正態變量空間中的可靠性試驗靈敏度轉換到相關正態變量空間中的可靠性試驗靈敏度。

由于空間是從空間等價變換而得到的，因此依據復合函數求導法則，可由空間的可靠性試驗靈敏度估計值得到空間的可靠性試驗靈敏度估計值：

由式~可知，要利用獨立正態變量空間的可靠性試驗靈敏度求得相關正態變量空間的可靠性試驗靈敏度，除了要求得失效概率對空間分布參數的偏導數(式~)外，還必須求得空間分布參數對空間分布參數的偏導數。

根據式所示的獨立正態變量和相關正態變量之間的線性關系可知，的第s個分量與的各分量、、、之間存在如下的線性關系。

其中系數是由相關正態變量的協方差矩陣確定的正交矩陣所決定的常數。

由上述關系式可以解析求得獨立正態變量的均值、標準差及相關系數與相關正態變量的均值、標準差及相關系數之間的關系分別如下所示。

利用式~，可將獨立正態變量空間的分布參數對相關正態變量空間分布參數的偏導數全部解析地求出，如式~所示。

將按照式~求得的獨立正態變量空間的可靠性試驗靈敏度估計值和式~求得的代入式~中，即可求得相關正態變量空間中的可靠性試驗靈敏度估計值。

2.2.3.2 相關正態變量情況下基于Monte Carlo轉換法的可靠性試驗靈敏度估計值的方差分析

在上述基于Monte Carlo數字模擬求解相關正態變量可靠性試驗靈敏度的轉換法中，如果在獨立正態變量空間中每項可靠性試驗靈敏度是采用獨立的樣本點進行計算的，那么式~中的估計值、和均是相互獨立的，此時可由式~所示的與的關系，利用獨立變量和的期望及方差的性質來求解相關正態變量可靠性試驗靈敏度估計值的數學期望和方差，進而運用式求得可靠性試驗靈敏度估計值的變異系數。如果在獨立正態變量空間中每項可靠性試驗靈敏度是采用相同的一組樣本點來估計時，則、和之間是相關的，此時求解的數學期望與獨立樣本情況是一致的，但是求解的方差則較困難，一般可通過控制獨立正態空間可靠性試驗靈敏度的收斂性來控制的收斂性，因為從到的轉換是解析的。

2.2.4  Monte Carlo直接法和Monte Carlo轉換法的比較

Monte Carlo直接法的優點是不需要進行可靠性試驗靈敏度的轉換，因此在求解可靠性試驗靈敏度時更直接，但直接法需要產生相關的隨機樣本，而一般來說相關隨機樣本的產生較獨立隨機樣本的產生更困難些。對于正態相關隨機樣本來說，可以通過獨立隨機樣本進行變換來得到。另外直接法中可靠性試驗靈敏度估計值的方差由于樣本點具有相關性而較難估計。如果在直接法中選用獨立的抽樣密度函數，則可以避免樣本產生的困難以及估計值方差分析的困難，但選用獨立的抽樣密度函數時不能與4.3節的超球重要抽樣法相結合，不易提高算法的效率。

Monte Carlo轉換法的優點是在進行相關正態變量的可靠性試驗靈敏度分析時不需要產生相關樣本點。在獨立的正態空間中求得可靠性試驗靈敏度的估計值后，經過解析變換即可求得相關正態變量空間的可靠性試驗靈敏度，而且獨立正態空間的可靠性試驗靈敏度估計值的方差分析較容易。缺點是它必須求得獨立正態空間的分布參數對相關正態空間分布參數的導函數，但由于此求導是解析的，因此計算量與直接法相比不會有明顯增加。另外，需指出的是：在Monte Carlo轉換法中，如果采用相同樣本估計獨立空間的可靠性試驗靈敏度，由于每項獨立空間可靠性試驗靈敏度估計值的相關性，造成了轉換后的可靠性試驗靈敏度估計值方差分析的困難，因此在轉換后控制估計值的收斂性是不易實現的，此時必須在獨立空間中控制可靠性試驗靈敏度估計值的收斂性，以保證解析變換到相關空間的可靠性試驗靈敏度估計的精度。

總體上來說，這兩種Monte Carlo數字模擬法進行相關正態變量的可靠性試驗靈敏度分析的計算量相當，并且都可以與超球重要抽樣相結合，以便進一步提高算法的效率。