基于超球重要抽樣的相關正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度分析

上述兩種基于Monte Carlo數字模擬法的可靠性試驗靈敏度分析方法的顯著缺點是效率太低，由于絕大部分情況下引入的密度函數的密度中心處于遠離失效域的安全域內，因此大多數樣本點均落在安全域內，對可靠性試驗靈敏度的估計貢獻較小，為此本節將討論采用自適應超球重要抽樣的方法來進行相關正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度分析。

為理解方便，本節首先引入了超球重要抽樣法進行可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析的基本原理，并采用文獻[5]提出的一種自適應超球重要抽樣可靠性試驗分析方法的思想，在對自適應超球重要抽樣進行改進的基礎上，形成一種搜索效率更高的自適應重要抽樣法，并將其擴展到相關正態變量情況下的可靠性試驗靈敏度分析，建立了基于超球自適應重要抽樣的可靠性試驗靈敏度分析的直接法和轉換法。

 超球重要抽樣的基本原理

 失效概率分析

由于安全域中的樣本點對失效概率的貢獻較小，文[9]提出了可靠性試驗分析的超球重要抽樣法。該方法的基本思想是確定安全域中的一個半徑為的超球，由于超球位于安全域，因此落入超球內的樣本點無需計算極限狀態函數值即可判別其落在安全域，從而減少了可靠性試驗分析所需的極限狀態函數的計算次數，提高了可靠性試驗分析數字模擬方法的效率。從理論上來說，只要能夠確定安全域中的一個半徑為的超球，就可以提高計算的效率，顯然位于安全域中的超球的半徑越大，計算效率提高的越多。

由于獨立標準正態空間特殊的統計特性，傳統的超球重要抽樣可靠性試驗分析均是在獨立的標準正態空間中完成的。在獨立標準正態空間中，以坐標原點為球心，以坐標原點到極限狀態方程上的最可能失效點的距離為半徑的超球是安全域中最大的超球。傳統的超球重要抽樣法一般是通過尋找標準正態空間的最可能失效點來確定最大的安全域超球的。

以記維獨立標準正態空間，記安全域內超球的半徑，記標準正態空間的極限狀態函數，F記失效域，則失效概率可由全概率公式寫成下列形式：

其中。

由于～且相互獨立，因此～，從而有

其中是自由度為的分布函數。

進而失效概率可改寫為下式

基于超球重要抽樣的可靠性試驗分析時，仍然采用Monte Carlo法抽取個獨立的標準正態變量的樣本點，首先篩選出這個樣本點中落在超球外的個樣本點，然后計算這個樣本點的極限狀態函數值，由下式給出失效概率的估計值。

對式所示的失效概率估計值求數學期望和方差分別有以下兩式成立。

顯然，基于超球重要抽樣的失效概率估計值是失效概率的無偏估計。

在數值模擬的過程中，考慮用樣本平均值和方差分別代替總體的數學期望和方差，可近似得到失效概率估計值的數學期望和方差分別如以下兩式所示。

與Monte Carlo法相比，在得到相同精度的失效概率估計值情況下，基于超球重要抽樣的方法節省的極限狀態函數的估計次數為，這種節省量隨失效概率的減小和超球半徑的增大而增大。

 可靠性試驗靈敏度分析

在獨立的標準正態空間中，對基于超球重要抽樣的可靠性試驗分析方法進行擴展，即可得到相應的可靠性試驗靈敏度分析方法。從上述個樣本點中篩選出落在超球外的個樣本點后，可按下式估計失效概率對隨機變量的第個分量的分布參數的可靠性試驗靈敏度。

與失效概率估計值的數學期望和方差的求解過程類似，可靠性試驗靈敏度估計值的數學期望和方差在數字模擬的過程中可分別由式和來估計，并且基于超球重要抽樣的可靠性試驗靈敏度估計值同樣是的無偏估計。

 確定超球半徑的自適應策略

超球重要抽樣需解決的關鍵問題是確定超球的半徑，一次二階矩方法(FORM)可以用來確定較優超球半徑，但該方法不穩健，尤其是針對含高維隨機變量的隱式極限狀態函數，一次二階矩法常常出現不收斂或是陷入局部較優等問題。針對一次二階矩法存在的問題，文獻[5]提出了一種自適應確定超球較優半徑的方法，該方法的基本思想是在抽樣的過程中，利用失效域提供的信息逐步修正超球的半徑，使得其穩健的收斂于較優半徑。但文[5]在搜索較優超球半徑時需要增加的額外工作量較大，本小節在文[5]自適應尋找超球較優半徑的基礎上提出了如下搜索超球較優半徑的流程（下述流程的討論如無特別說明均是在標準正態空間中進行的）。

(1)、設置初始超球半徑；

與傳統方法有所不同，自適應超球重要抽樣在設置初始半徑時應滿足超球與失效域相交，這種的設置可以通過使得式所示的樣本點落在超球外的概率取很小的值來實現。由于結構的失效概率一般較小，所以一般選取比較合適。選取后，可由下式確定初始。

(2)、設置隨機數的初始狀態并產生隨機數；

(3)、計算半徑為的超球外樣本點的極限狀態函數并確定失效樣本；

對于的樣本點，計算其對應的極限狀態函數值，并保存計算結果，避免后續再次重復的計算該樣本點對應的極限狀態函數值。同時，對于的樣本點，按式或進行失效概率或可靠性試驗靈敏度的累加計算。

(4)、線性搜索以確定第次迭代的超球半徑；

對所有滿足且的樣本點，即落入第次迭代的超球外的失效樣本點，如圖4.1中的A、B點，分別求其概率密度函數，選取其中概率密度函數最大的樣本點，在其與坐標原點的連線方向上進行線性搜索，由于是內插搜索，因此一般經過2到3次搜索，即可確定該連線與極限狀態的近似交點，交點到原點的距離即為新的超球半徑。

圖4.1 決定超球較優半徑的自適應策略示意圖

 

(5)、計算第與次超球之間的樣本點的極限狀態函數值并確定失效樣本；

對于的樣本，計算其對應的極限狀態函數值，并保留結果，對于這些樣本中者，按式或進行失效概率或可靠性試驗靈敏度的累加計算。

(6)、重復(4)和(5)步直至下列收斂條件被滿足即可得到超球的較優半徑

確定超球較優半徑流程的迭代終止條件為失效概率的最大相對誤差低于失效概率的相對誤差限。由中心極限定理可知，失效概率估計值近似服從均值為、方差為的正態分布，因此根據標準正態分布的上分位點的定義有式成立。

由上式可得到失效概率估計值置信度為的置信區間如式所示。

由此可得失效概率的相對誤差限為

由于在上述數字模擬過程中，為失效概率的無偏估計，因此上式所示的失效概率的相對誤差限可近似表示為

如果將失效概率估計值的變異系數設置為0.1，則在給定95%的置信水平的情況下失效概率相對誤差的極限值為[5]

這個精度對于大多數工程應用是合理的，而且實際誤差將是小于誤差極限值的。