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定義在所有微元體與結構失效邊界的交點中概率密度最大的點為近似設計點，由均值點到近似設計點的單位方向向量為重要方向
。以
表示過中心點
且垂直于重要方向
的超平面，由式確定
其中
和
分別表示
和
的第
個分量。
定義
為極限狀態函數
的可靠度指標，則有
從而可以求得
和
如下所示。
將式和式分別代入式可得隨機變量為任意維數時結構可靠性試驗靈敏度的通用形式。
同樣的，將式和式分別代入式和式可以得到二維和三維變量時結構的可靠性試驗靈敏度的具體形式，這里不再羅列。
算例5.1：非線性極限狀態
，其中各隨機變量相互獨立并服從標準正態分布。用本章所提的降階積分法對結構進行可靠性試驗靈敏度分析的結果列于表5 1中。
表5 1 算例5.1的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果
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|
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|
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|
Monte Carlo |
-0.010182 |
0.0037515 |
0.025697 |
0.0040735 |
0.003630 |
|
|
降階積分 |
1 |
-0.010165
(0.167%)* |
0.0037674
(0.424%) |
0.025640
(0.223%) |
0.0040098
(1.564%) |
0.004109
(0.165%) |
|
2 |
-0.01036
(1.753%) |
0.0038517
(2.669%) |
0.026049
(1.369%) |
0.0036006
(11.611%) |
||
注意：()*表示降階積分法所得的失效概率及其對變量分布參數的可靠性試驗靈敏度的計算結果相對于直接Monte Carlo法抽樣107次所得到的結果的相對誤差。表中的1、2分別對應于文中所提的兩種可靠性試驗靈敏度計算方法。以下類似。
由上表容易看出，對于此二維標準正態隨機變量、非線性極限狀態函數，用降階積分法分析結構的可靠性試驗靈敏度可以得到精度較高的結果。
算例5.2：非線性極限狀態函數為
，其中
，
，且相互獨立。采用本章的降階積分法對結構進行可靠性試驗靈敏度的結果見表5 2。
表5 2 算例5.2的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果
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|
|
|
|
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|
Monte Carlo |
0.004200 |
6.187×10-4 |
0.010115 |
1.855×10-4 |
0.007678 |
|
|
降階積分 |
1 |
0.004217
(0.400%) |
6.288×10-4
(1.634%) |
0.010098
(0.169%) |
2.001×10-4
(7.871%) |
0.007746
(0.880%) |
|
2 |
0.004219
(0.454%) |
6.668×10-4
(7.770%) |
0.010097
(0.182 %) |
2.017×10-4
(8.756%) |
||
算例5.3：系統的兩個失效模式
，
，各隨機變量相互獨立且服從標準正態分布。分別考慮兩個失效模式為串聯和并聯時，采用降階積分法對系統進行可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析的結果列于表5 3中。
表5 3 算例5.3的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果
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|
|
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|
||
|
串聯 |
Monte Carlo |
|
-0.006915 |
0.011962 |
0.011598 |
0.027648 |
0.004855 |
|
降階積分 |
1 |
-0.006820
(1.373%) |
0.011972
(0.082%) |
0.011314
(2.443%) |
0.027712
(0.231%) |
0.007746
(0.880%) |
|
|
2 |
-0.007064
(2.148%) |
0.011921
(0.344%) |
0.011406
(1.647%) |
0.027620
(0.102%) |
|||
|
并聯 |
Monte Carlo |
|
-0.001937 |
0.002233 |
0.003664 |
0.005040 |
0.0008768 |
|
降階積分 |
1 |
-0.001804
(6.853%) |
0.002141
(4.109%) |
0.003428
(6.438%) |
0.004784
(5.065%) |
0.0008363
(4.621%) |
|
|
2 |
-0.001838
(5.097%) |
0.002094
(6.231%) |
0.003756
(2.528%) |
0.004456
(11.583%) |
|||
算例5.4：如圖5.3所示矩形截面懸臂梁受到水平和豎直方向的載荷
和
作用，以其自由端位移不超過
(
=2.2)為約束建立極限狀態函數為
，其中
，式中
分別為梁的彈性模量、寬度和厚度。其中
為已知常量，
，將
看作是獨立正態分布隨機變量，其分布參數見表5 4，表5 5給出了基于降階積分的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果。
|
表5 4 懸臂梁隨機變量的數字特征
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圖5.3 矩形截面懸臂梁 |
表5 5算例5.4的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結果
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Monte Carlo* |
降階積分 |
|||
|
1 |
2 |
||||
|
|
0.002707 |
0.002722 |
0.554% |
0.002722 |
0.554% |
|
|
7.239×10-5 |
7.283×10-5 |
0.611% |
7.413×10-5 |
2.401% |
|
|
1.643×10-5 |
1.637×10-5 |
0.341% |
1.712×10-5 |
4.224% |
|
|
-2.618×10-9 |
-2.632×10-9 |
0.550% |
-2.727×10-9 |
4.179% |
|
|
1.751×10-4 |
1.762×10-4 |
0.599% |
1.777×10-4 |
1.468% |
|
|
1.088×10-5 |
1.075×10-5 |
1.167% |
9.481×10-5 |
12.86% |
|
|
3.333×10-9 |
3.352×10-9 |
0.579% |
3.488×10-9 |
4.635% |
注意：*本例的Monte Carlo法抽樣108次。
對于此變量維數為三維的工程算例，基于降階積分法的可靠性試驗靈敏度仍可以得到較為精確的結果，并且方法1的估算精度要更高一些。
